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解析力学において, ハミルトニアンとは「系のエネルギーを座標と運動量で表したもの」
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系のエネルギー自体を表すため, 時間変化せず時間 $t$に依存しない
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$\mathcal{K}$を運動エネルギー、 $\mathcal{U}$をポテンシャルエネルギーとして
$$H := H(q,p;t) =\mathcal{K}(p)+\mathcal{U}(q)$$ -
ハミルトニアンの正準方程式
- 運動ベクトル $p_r$と座標ベクトル $q_r$の時間 $t$に関する挙動を規定する
$$\frac{dq_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r} , \frac{dp_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}$$
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証明は略
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上の正準方程式は解析的に解けないので, 近似によって解く
- 代表的な手法としては, オイラー法とリープフロッグ法がある