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ベクトル空間 $\supset$ 内積空間 $\supset$ ヒルベルト空間
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まず「ベクトル空間」について
- ベクトル空間の公理 (群論を想起すれば自然と思い出せる)
- 加法について閉じており, 零元, 逆元が存在 / 結合則・交換則が成立
- スカラー積について閉じており, 零元, 逆元が存在 / 結合則が成立
- スカラー積と加法の間で分配法則が成立
$$\lambda (a+b)=\lambda a + \lambda b$$
- こいつらが成り立てばまずはベクトル空間
- ベクトル空間の公理 (群論を想起すれば自然と思い出せる)
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次に「内積空間」について (プレ・ヒルベルト空間とも呼ぶらしい)
- 内積が定義できれば良い
- →内積さえ定義できれば, ノルムが定義できる
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最後に「ヒルベルト空間」について
- 内積空間が完備性を持つとき「ヒルベルト空間」と呼ぶ
- 完備性とは?
- →任意のコーシー列が収束し, 内積空間で閉じているとき
- → 例えば, あるベクトル $x$を最適解 $x^*$に近づけたいとき, $∥x - x^*∥_{\mathcal{H}}$が0に収束するように $x$が定まるが, この $x$が $x \in \mathcal{H}$である状況が常に成り立つ
- したがって, ヒルベルト空間はとても都合の良いベクトル空間なのでアール
- 内積空間が完備性を持つとき「ヒルベルト空間」と呼ぶ
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ヒルベルト空間
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